Elementarmathematik Beispiele

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ um.

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ durch $20$ .

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $20$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 \sqrt{3}$ heraus.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 5.3

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

Schritt 5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

Schritt 5.6.3

Addiere $2 π$ und $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 7.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = 2 (\frac{5}{3})$

Schritt 7.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$t = \frac{10}{3}$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 9

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.3

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

Schritt 9.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

Schritt 9.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

Schritt 9.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

Schritt 9.2.6.3

Addiere $4 π$ und $3 π$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

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Schritt 9.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π t$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ .

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Schritt 9.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

Schritt 9.4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

Schritt 9.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.4.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $7 π$ heraus.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Schritt 9.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

Schritt 9.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = 2 (\frac{7}{3})$

Schritt 9.4.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{3}$ .

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

Schritt 9.4.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$t = \frac{14}{3}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 10.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 10.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 10.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ ist $8$ , d. h., Werte werden sich alle $8$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ , für jede Ganzzahl $n$