Elementarmathematik Beispiele

${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1

Vereinfache ${(1 + y)}^{2} - (1 + y) y - y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(1 + y)}^{2} + (- 1 - y) y - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(1 + y)}^{2} - 1 y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

${(1 + y)}^{2} - y - y \cdot y - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.1

Bewege $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - (y \cdot y) - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(1 + y)}^{2} - y - y^{2} - y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $y^{2}$ von $- y^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} - y - 2 y^{2} + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gruppiere die Terme um.

${(1 + y)}^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe ${(1 + y)}^{2}$ als $(1 + y) (1 + y)$ um.

$(1 + y) (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.3

Multipliziere $(1 + y) (1 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 + y) + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y) - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$1 + y + y + y \cdot y - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 + y + y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $y$ und $y$ .

$1 + 2 y + y^{2} - 2 y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$1 + 2 y - y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $1 + 2 y - y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.6.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.6.1.1

Bewege $1$ .

$2 y - y^{2} + 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.1.2

Stelle $2 y$ und $- y^{2}$ um.

$- y^{2} + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$- (y^{2}) + 2 y + 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (- 2 y)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 1 - y + 1 = 0$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y - 1) - y + 1 = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- y + 1$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) + 1 = 0$

Schritt 2.7.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1) = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - 2 y - 1) - (y - 1)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y - 1 + y - 1) = 0$

Schritt 2.9

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$- (y^{2} - y - 1 - 1) = 0$

Schritt 2.10

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- (y^{2} - y - 2) = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $y^{2} - y - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.11.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.11.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((y - 2) (y + 1)) = 0$

Schritt 2.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (y - 2) (y + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 5

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (y - 2) (y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 1$