Elementarmathematik Beispiele

$3 x - 2 y = 5$ , $5 x + 3 y = 2$

Schritt 1

Löse in $3 x - 2 y = 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5 + 2 y$

$5 x + 3 y = 2$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 + 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 + 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$5 x + 3 y = 2$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $5 x + 3 y = 2$ durch $\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}) + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $5 (\frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}) + 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\frac{5}{3}) + 5 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $5 (\frac{5}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25}{3} + 5 (\frac{2 y}{3}) + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $5 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{25}{3} + \frac{5 (2 y)}{3} + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{25}{3} + \frac{10 y}{3} + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25}{3} + \frac{10 y}{3} + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25}{3} + \frac{10 y}{3} + 3 y = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} + \frac{10 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $3 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} + \frac{10 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25}{3} + \frac{10 y + 3 y \cdot 3}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 + 10 y + 3 y \cdot 3}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{25 + 10 y + 9 y}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $10 y$ und $9 y$ .

$\frac{25 + 19 y}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25 + 19 y}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25 + 19 y}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{25 + 19 y}{3} = 2$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{25 + 19 y}{3} = 2$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{25 + 19 y}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{25 + 19 y}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 + 19 y}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$25 + 19 y = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$25 + 19 y = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $25$ und $19 y$ um.

$19 y + 25 = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$19 y + 25 = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$19 y + 25 = 2 \cdot 3$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$19 y + 25 = 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$19 y + 25 = 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$19 y + 25 = 6$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$19 y = 6 - 25$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $25$ von $6$ .

$19 y = - 19$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$19 y = - 19$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $19 y = - 19$ durch $19$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $19 y = - 19$ durch $19$ .

$\frac{19 y}{19} = \frac{- 19}{19}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{19 y}{19} = \frac{- 19}{19}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 19}{19}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 19}{19}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 19}{19}$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $- 19$ durch $19$ .

$y = - 1$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = - 1$

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{5}{3} + \frac{2 y}{3}$ durch $- 1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{2 (- 1)}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} + \frac{2 (- 1)}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 + 2 (- 1)}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 - 2}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$x = \frac{3}{3}$

$y = - 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

$x = 1$

$y = - 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, - 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, - 1)$

Gleichungsform:

$x = 1, y = - 1$

Schritt 7