Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ , $x = y^{2}$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $y^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 4 x$ durch $y^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache ${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2 \cdot 2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere $4$ mit $y^{2}$ .

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

Schritt 2

Löse in $y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} + y^{2} - 4 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

${(y^{2})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2.2

Es sei $u = y^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{2}$ .

$u^{2} - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 3 u$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 3 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 3$ heraus.

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.4

Setze $y^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $y^{2}$ gleich $0$ .

$y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.4.2

Löse $y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5

Setze $y^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $y^{2} - 3$ gleich $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5.2

Löse $y^{2} - 3 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 3$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y^{2} (y^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $y$ in $x = y^{2}$ durch $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = y^{2}$ durch $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = y^{2}$ durch $0$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $y$ in $x = y^{2}$ durch $\sqrt{3}$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $x = y^{2}$ durch $- \sqrt{3}$ .

$x = {(- \sqrt{3})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- \sqrt{3})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

Schritt 8

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(3, \sqrt{3})$

$(3, - \sqrt{3})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 0), (3, \sqrt{3}), (3, - \sqrt{3})$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = \sqrt{3}$

$x = 3, y = - \sqrt{3}$

Schritt 10