Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = 3 x^{2} e^{2 x}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} e^{2 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (x^{2} (e^{2 x})) + 3 (e^{2 x} (2 x))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 e^{2 x} x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $6 e^{2 x} x^{2} + 6 e^{2 x} x$ um.

$6 x^{2} e^{2 x} + 6 x e^{2 x}$