Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 8 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(x - 4)}^{2} - 16$

Schritt 1.3

Setze ${(x - 4)}^{2} - 16$ für $x^{2} - 8 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

Schritt 1.4

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 y^{2} + 12 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{- 3}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 3$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $12$ .

$e = 12$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ ein.

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

Schritt 1.6

Setze $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ für $- 3 y^{2} + 12 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

Schritt 1.7

Bringe $12$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $12$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 16 + 16 - 12$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

Schritt 1.9

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

Schritt 1.10

Teile jeden Term durch $12$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(4, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $4$ und $12$ .

$\sqrt{16}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, 4)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(4, 4), (4, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, 6)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - 2)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(4, 6), (4, - 2)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Schritt 8.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Schritt 8.3.1.6

Addiere $4$ und $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Schritt 8.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{2}$

Schritt 8.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {\sqrt{3}}^{2}$ heraus.

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Schritt 9.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 9.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 9.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 9.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{2}$

Schritt 9.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

Schritt 11.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.5.1

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 11.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 12.2.4

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ .

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 12.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(4, 2)$

Scheitelpunkte: $(4, 4), (4, 0)$

Brennpunkte: $(4, 6), (4, - 2)$

Exzentrizität: $2$

Fokaler Parameter: $\frac{3}{2}$

Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

Schritt 15