Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $i$ .

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.10.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} i$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.11

Kombinieren.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 3.1.12.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.13.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.13.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.13.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.14

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.16

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.16.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.16.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} i$ an.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.17.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.17.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.5

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.7

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.17.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

Schritt 3.1.17.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

Schritt 3.1.18

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.1.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3} i$ von $3 \sqrt{3} i$ .

$\frac{0 - 8}{8}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{- 8}{8}$

Schritt 3.2.4.2

Dividiere $- 8$ durch $8$ .

$- 1$