Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x}$ mit $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Schritt 9

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Schritt 10

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$