Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $3$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{31}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

$- \frac{1}{2} | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{33}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{33}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} | - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} |$ .

$0 - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{array} |$

Schritt 3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{array} |$ .

$0 - \frac{1}{2} | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} | + 0$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 0)) + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 2} - (- \frac{1}{2} \cdot 0)) + 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - (- \frac{1}{2} \cdot 0)) + 0$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - (0 (\frac{1}{2}))) + 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - 0) + 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + 0) + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + 0$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{1}{4 \cdot 2} + 0$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$0 - \frac{1}{8} + 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{8}$ von $0$ .

$- \frac{1}{8} + 0$

Schritt 5.3

Addiere $- \frac{1}{8}$ und $0$ .

$- \frac{1}{8}$