Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 32 y - 36 = 0$

Schritt 1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 32 y = 36$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} + 8 y = 9$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 8 y$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 3.3.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$e = - 16$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 4)}^{2} - 16$ ein.

${(y + 4)}^{2} - 16$

Schritt 4

Setze ${(y + 4)}^{2} - 16$ für $y^{2} + 8 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + 8 y = 9$ .

$x^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = 9$

Schritt 5

Bringe $- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $16$ auf beiden Seiten.

$x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9 + 16$

Schritt 6

Addiere $9$ und $16$ .

$x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$