Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4 x - 2}{x + 3} \leq 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{4 x - 2}{x + 3} - 3$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) - 2}{x + 3} - 3 \leq 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \leq 0$

Schritt 2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} - 3 \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 1)}{x + 3} + \frac{- 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 x - 1) - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 (x + 3)}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 3}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{4 x - 2 - 3 x - 9}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$\frac{x - 2 - 9}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $9$ von $- 2$ .

$\frac{x - 11}{x + 3} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 11 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 11$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 11$

$x = - 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 11, - 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - 11}{x + 3}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 11}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 11$

$x > 11$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (- 6) - 2}{(- 6) + 3} \leq 3$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $8.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (0) - 2}{(0) + 3} \leq 3$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 11$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 11$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (14) - 2}{(14) + 3} \leq 3$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $3.17647058$ ist größer als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 11$ Wahr

$x > 11$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 11$ Wahr

$x > 11$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x \leq 11$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 3, 11]$

Schritt 13