Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x + 4}{x + 5} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 4$

$x = - 5$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 4, - 5$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 4}{x + 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 5 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$x > - 4$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 8) + 4}{(- 8) + 5} \leq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4.5$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4.5) + 4}{(- 4.5) + 5} \leq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 4}{(0) + 5} \leq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0.8$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 4$ Wahr

$x > - 4$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 4$ Wahr

$x > - 4$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x \leq - 4$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 5, - 4]$

Schritt 11