Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 80 u + 1024$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $1024$ und deren Summe $- 80$ ist.

$- 64, - 16$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 64$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 64$ gleich $0$ .

$u - 64 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 64$

Schritt 5

Setze $u - 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 64) (u - 16) = 0$ wahr machen.

$u = 64, 16$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 64$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 16$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 16$

Schritt 11.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 11.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ ist $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $3024$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $- 560$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $1024$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $- 560$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 14.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 14.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Schritt 14.5.3

Die linke Seite $3024$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 4$ Falsch

$4 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 8 < x < - 4$ oder $4 < x < 8$

Schritt 16

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Schritt 17