Elementarmathematik Beispiele

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 8.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 8.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 8.1.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 8.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Schritt 8.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $\frac{π}{18}$ und $0$ .

$\frac{π}{18}$

Schritt 8.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 8.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 8.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 8.2.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 8.2.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $\frac{5 π}{18}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Schritt 8.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Schritt 8.3

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.3.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Schritt 8.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Schritt 8.3.2.5.2

Addiere $π$ und $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Schritt 8.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Schritt 8.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.4.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Schritt 8.4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Schritt 8.4.2.5.2

Addiere $5 π$ und $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Schritt 8.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Schritt 8.5

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.5.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.5.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Schritt 8.5.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Schritt 8.5.2.5.2

Addiere $π$ und $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Schritt 8.5.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Schritt 8.6

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 8.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.6.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Schritt 8.6.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Schritt 8.6.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Schritt 8.6.2.5.2

Addiere $5 π$ und $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Schritt 8.6.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$