Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(2)}^{4} + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + 2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$16 + 2^{1} {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 + 2^{1 + 3} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$16 + 2^{4} - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + 16 - 5 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 + 16 - 5 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$16 + 16 - 20 - 8 \cdot 2 + 4$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$16 + 16 - 20 - 16 + 4$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $16$ und $16$ .

$32 - 20 - 16 + 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $20$ von $32$ .

$12 - 16 + 4$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $16$ von $12$ .

$- 4 + 4$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$
	$1$	$4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$3$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 5$	$- 8$	$4$
		$2$	$8$	$6$	$- 4$
	$1$	$4$	$3$	$- 2$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (3) x - 2$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 7.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 + 4 {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2 - 2$

Schritt 7.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot - 2 - 2$

Schritt 7.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 8 + 16 + 3 \cdot - 2 - 2$

Schritt 7.1.3.5

Addiere $- 8$ und $16$ .

$8 + 3 \cdot - 2 - 2$

Schritt 7.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$8 - 6 - 2$

Schritt 7.1.3.7

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$2 - 2$

Schritt 7.1.3.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 7.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

Schritt 7.1.5

Dividiere $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ durch $x + 2$ .

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Schritt 7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 2$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

Schritt 7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

Schritt 7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 7.1.6

Schreibe $x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.4

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x^{2} + 2 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.4.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.4.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 7.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 2) (x + 2) (x + 1 - \sqrt{2}) (x + 1 + \sqrt{2})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 4$ .

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2, - 2, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 2, - 2, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Schritt 11