Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 + 9 - 7 + 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 4$ und $9$ .

$5 - 7 + 2$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$- 2 + 2$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(9)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 7.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 7.1.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 7.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 7.1.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

Schritt 7.1.1.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 3 + 5 - 2$

Schritt 7.1.1.3.7

Addiere $- 3$ und $5$ .

$2 - 2$

Schritt 7.1.1.3.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x + 2$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 2$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x - 2)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ .

$x = 1, 2$

Schritt 10