Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} - 4 x + 1 = 0$ um.

$- x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ als $- (2 \pm \sqrt{5})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ als $- (2 \pm \sqrt{5})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.5.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (2 + \sqrt{5})$

Schritt 1.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 2 - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 - \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$

Schritt 1.2.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{5})$ als $- (2 \pm \sqrt{5})$ um.

$x = - (2 \pm \sqrt{5})$

Schritt 1.2.6.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (2 - \sqrt{5})$

Schritt 1.2.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 2 + \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.9

Multipliziere $- - \sqrt{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 2 + 1 \sqrt{5}$

Schritt 1.2.6.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 - \sqrt{5}, - 2 + \sqrt{5}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 1$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 1$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 2 - \sqrt{5}, 0), (- 2 + \sqrt{5}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4