Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 3 y = 0$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - 3 y$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ ein.

${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 2

Setze ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ für $y^{2} - 3 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 3 y = 0$ .

$x^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = 0$

Schritt 3

Bringe $- \frac{9}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{9}{4}$ auf beiden Seiten.

$x^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 0 + \frac{9}{4}$

Schritt 4

Addiere $0$ und $\frac{9}{4}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Schritt 5

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 6

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{3}{2}$

$h = 0$

$k = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(0, \frac{3}{2})$

Schritt 8

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(0, \frac{3}{2})$

Radius: $\frac{3}{2}$

Schritt 9