Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (2 θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

Gegenkathete $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Gegenkathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

Gegenkathete $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 3}$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

Gegenkathete $= \sqrt{4 - 3}$

Schritt 4.7

Subtrahiere $3$ von $4$ .

Gegenkathete $= \sqrt{1}$

Schritt 4.8

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

Gegenkathete $= 1$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (2 θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (2 θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (2 θ)$ zu ermitteln.

$\tan (2 θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (2 θ) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (2 θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\tan (2 θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (2 θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 6.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (2 θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (2 θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (2 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (2 θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (2 θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (2 θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (2 θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (2 θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (2 θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (2 θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (2 θ) = \frac{2}{1}$

Schritt 9.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\csc (2 θ) = 2$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (2 θ) = 2$