Elementarmathematik Beispiele

$\cos (θ) = - \frac{4}{9}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Kosinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Gegenkathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Ankathete und die Hypotenuse bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {Ankathete}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Gegenüberliegend = - \sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Kehre das Vorzeichen von $\sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$ um.

Gegenkathete $= - \sqrt{{(9)}^{2} - {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{81 - {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{81 - 1 \cdot 16}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{81 - 16}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $16$ von $81$ .

Gegenkathete $= - \sqrt{65}$

Schritt 5

Ermittle den Wert des Sinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\sin (θ)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{65}}{9}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{65}}{- 4}$

Schritt 6.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{65}}{4}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{- 4}{- \sqrt{65}}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Wert von $\cot (θ)$ .

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (θ) = \frac{4}{\sqrt{65}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\cot (θ) = \frac{4}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{65}}^{2}$ als $65$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{65}$ als $65^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{9}{- 4}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sec (θ) = - \frac{9}{4}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{9}{- \sqrt{65}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Wert von $\csc (θ)$ .

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Schritt 9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{9}{\sqrt{65}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{9}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}})$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{9}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{65}}^{2}$ als $65$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{65}$ als $65^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\cos (θ) = - \frac{4}{9}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{65}}{4}$

$\cot (θ) = \frac{4 \sqrt{65}}{65}$

$\sec (θ) = - \frac{9}{4}$

$\csc (θ) = - \frac{9 \sqrt{65}}{65}$