Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 x^{2} + 24 x - 18$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} + 24 x - 18$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 24$

$c = - 18$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (2)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{2}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$d = 6$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 18 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = - 18 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = - 18 - \frac{576}{8}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $8$ .

$e = - 18 - 1 \cdot 72$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$e = - 18 - 72$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $72$ von $- 18$ .

$e = - 90$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + 6)}^{2} - 90$ ein.

$2 {(x + 6)}^{2} - 90$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x + 6)}^{2} - 90$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = - 6$

$k = - 90$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 6, - 90)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 6, - \frac{719}{8})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 6$

Schritt 8