Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2}) - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Schreibe $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ als $- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Schritt 5.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- (4 x^{2} + 2 x - 1)$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kehre das Vorzeichen von $4 x^{2} + 2 x - 1$ um.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x - 1)}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (4 x^{2} + 2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.5

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (4 x^{2}) - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 3}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				-	$2 x$
	$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 6 x$

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$6$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 6$

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x$	+	$2$
$2 x$	+	$3$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$4 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$6$
							-	$5$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 2 x + 2 - \frac{5}{2 x + 3}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 2 x + 2$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{3}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 2 x + 2$

Schritt 7