Elementarmathematik Beispiele

$y = {(x - 14)}^{2} - 9$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$y = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(x - 14)}^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x - 14)}^{2}$ als $(x - 14) (x - 14)$ um.

$y = (x - 14) (x - 14) - 9$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 14) (x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 14) - 14 (x - 14) - 9$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14) - 9$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 14$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14 - 9$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$y = x^{2} - 14 x - 14 x + 196 - 9$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$y = x^{2} - 28 x + 196 - 9$

Schritt 2.2

Subtrahiere $9$ von $196$ .

$y = x^{2} - 28 x + 187$

Schritt 3

Nehme an, dass $y = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ ist und $y = {(x - 14)}^{2} - 9$ ist $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} - 28 x + 187$

Schritt 4

Die beschriebene Transformation ist von $f (x) = x^{2}$ nach $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} - 28 x + 187$

Schritt 5

Ermittle die Scheitelform von $g (x) = x^{2} - 28 x + 187$ .

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Schritt 5.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 28 x + 187$ an.

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Schritt 5.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 28$

$c = 187$

Schritt 5.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 28}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 28$ und $2$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 (1)}$

Schritt 5.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 14}{1}$

Schritt 5.1.3.2.2.4

Dividiere $- 14$ durch $1$ .

$d = - 14$

Schritt 5.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 187 - \frac{{(- 28)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$e = 187 - \frac{784}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 187 - \frac{784}{4}$

Schritt 5.1.4.2.1.3

Dividiere $784$ durch $4$ .

$e = 187 - 1 \cdot 196$

Schritt 5.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $196$ .

$e = 187 - 196$

Schritt 5.1.4.2.2

Subtrahiere $196$ von $187$ .

$e = - 9$

Schritt 5.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 14)}^{2} - 9$ ein.

${(x - 14)}^{2} - 9$

Schritt 5.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - 14)}^{2} - 9$

Schritt 6

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$g (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Rechte $14$ Einheiten

Schritt 7

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: $9$ Einheiten nach unten

Schritt 8

Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = - f (x)$ .

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Schritt 9

Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = f (- x)$ .

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Schritt 10

Stauchen und Strecken hängt vom Wert von $a$ ab.

Wenn $a$ größer als $1$ ist: Vertikal gestreckt

Wenn $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt: Vertikal gestaucht

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 11

Vergleiche und liste die Transformationen auf.

Mutterfunktion: $y = x^{2}$

Horizontale Verschiebung: Rechte $14$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: $9$ Einheiten nach unten

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 12