Elementarmathematik Beispiele

$0.25 (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 3 t^{2} + 1$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$1, 3 t^{2} + 1$

Schritt 1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 t^{2} + 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ mit $3 t^{2} + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ mit $3 t^{2} + 1$ .

$0.25 t (3 t^{2} + 1) = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0.25 t (3 t^{2}) + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t \cdot 1 = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $1$ .

$0.25 \cdot 3 t \cdot t^{2} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$0.25 \cdot 3 (t^{2} t^{1}) + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0.25 \cdot 3 t^{2 + 1} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$0.25 \cdot 3 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $3$ .

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 t^{2} + 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.75 t^{3} + 0.25 t = \frac{t}{3 t^{2} + 1} (3 t^{2} + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$0.75 t^{3} + 0.25 t = t$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $t$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.75 t^{3} + 0.25 t - t = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $t$ von $0.25 t$ .

$0.75 t^{3} - 0.75 t = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $0.75 t$ aus $0.75 t^{3} - 0.75 t$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $0.75 t$ aus $0.75 t^{3}$ heraus.

$0.75 t (t^{2}) - 0.75 t = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $0.75 t$ aus $- 0.75 t$ heraus.

$0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $0.75 t$ aus $0.75 t (t^{2}) + 0.75 t (- 1)$ heraus.

$0.75 t (t^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$0.75 t (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$0.75 t ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 3.5

Setze $t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $t + 1$ gleich $0$ .

$t + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 1$

Schritt 3.6

Setze $t - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $0.75 t (t + 1) (t - 1) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - 1, 1$