Elementarmathematik Beispiele

$27^{- a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

${(3^{3})}^{- a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{3})}^{- a}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{3 (- a)} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3^{- 3 a} \cdot 81^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 3

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$3^{- 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{- 3 a} \cdot 3^{4 a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{- 3 a + 4 a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 6

Addiere $- 3 a$ und $4 a$ .

$3^{a} = 243^{3 a + 3}$

Schritt 7

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{a} = 3^{5 (3 a + 3)}$

Schritt 8

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$a = 5 (3 a + 3)$

Schritt 9

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $5 (3 a + 3)$ .

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Schritt 9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = 5 (3 a) + 5 \cdot 3$

Schritt 9.1.2

Multipliziere.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = 15 a + 5 \cdot 3$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$a = 15 a + 15$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $15 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a - 15 a = 15$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $15 a$ von $a$ .

$- 14 a = 15$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $- 14 a = 15$ durch $- 14$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 14 a = 15$ durch $- 14$ .

$\frac{- 14 a}{- 14} = \frac{15}{- 14}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 14$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 14 a}{- 14} = \frac{15}{- 14}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{15}{- 14}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{15}{14}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = - \frac{15}{14}$

Dezimalform:

$a = - 1.07142857 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$a = - 1 \frac{1}{14}$