Elementarmathematik Beispiele

$\frac{9 x^{2} + 37 x + 41}{3 x + 5}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{9 x^{2} + 37 x + 41}{3 x + 5}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$5$

$9 x^{2}$

$37 x$

$41$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$3 x$
	$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			+	$9 x^{2}$	+	$15 x$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{2} + 15 x$

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $22 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					+	$22 x$	+	$\frac{110}{3}$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $22 x + \frac{110}{3}$

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					-	$22 x$	-	$\frac{110}{3}$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	+	$\frac{22}{3}$
$3 x$	+	$5$		$9 x^{2}$	+	$37 x$	+	$41$
			-	$9 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$22 x$	+	$41$
					-	$22 x$	-	$\frac{110}{3}$
							+	$\frac{13}{3}$

Schritt 5.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$3 x + \frac{22}{3} + \frac{13}{3 (3 x + 5)}$

Schritt 5.12

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 3 x + \frac{22}{3}$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{5}{3}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 3 x + \frac{22}{3}$

Schritt 7