Elementarmathematik Beispiele

$x = - y^{2} - 8 y - 22$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x = - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 22$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$x = - 0^{2} - 8 \cdot 0 - 22$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$x = - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 22$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $- {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 22$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = - 0 - 8 \cdot 0 - 22$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x = 0 - 8 \cdot 0 - 22$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$x = 0 + 0 - 22$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$x = 0 - 22$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $22$ von $0$ .

$x = - 22$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 22, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$0 = - y^{2} - 8 y - 22$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- y^{2} - 8 y - 22 = 0$ um.

$- y^{2} - 8 y - 22 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 8$ und $c = - 22$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 22)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 22$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.3

Subtrahiere $88$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$

Schritt 2.2.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$ als $- (4 \pm i \sqrt{6})$ um.

$y = - (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 22$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $88$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$

Schritt 2.2.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$ als $- (4 \pm i \sqrt{6})$ um.

$y = - (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.5.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (4 + i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 4 - (i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 4 - i \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 22$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 22}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 22$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $88$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{6}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$

Schritt 2.2.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm i \sqrt{6}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm i \sqrt{6})$ als $- (4 \pm i \sqrt{6})$ um.

$y = - (4 \pm i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (4 - i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 4 - (- i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 4 - (- i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.9

Multipliziere $- (- i \sqrt{6})$ .

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Schritt 2.2.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - 4 + 1 (i \sqrt{6})$

Schritt 2.2.6.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$y = - 4 + \sqrt{6} i$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 4 - i \sqrt{6}, - 4 + \sqrt{6} i$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 22, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4