Elementarmathematik Beispiele

$2 y^{2} + 12 y - x + 2 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 12$ und $c = - x + 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.6

Subtrahiere $16$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 128$ heraus.

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Schritt 1.3.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 16$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $8 (x + 16)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.8.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $16$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 128$ heraus.

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Schritt 1.4.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 16$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $8 (x + 16)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.8.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.4.5

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{2 (x + 16)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Schritt 1.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{2 (x + 16)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Schritt 1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 (- x) - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8 x - 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $16$ von $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 128$ heraus.

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Schritt 1.5.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x) + 128}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 16$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $8 (x + 16)$ als $2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 16))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 4^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.10

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (x + 16)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 - \sqrt{2 (x + 16)}$ heraus.

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Schritt 1.5.5.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{2 (x + 16)}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (6) - (\sqrt{2 (x + 16)})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Schritt 1.5.5.4

Schreibe $- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 16)})$ als $- (6 + \sqrt{2 (x + 16)})$ um.

$y = \frac{- (6 + \sqrt{2 (x + 16)})}{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Zerlege den Bruch $\frac{6 - \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - (\frac{6}{2} + \frac{- \sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$y = - (3 + \frac{- \sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - (3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{6 + \sqrt{2 (x + 16)}}{2}$ in zwei Brüche.

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (\frac{6}{2} + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

Schritt 7

Dividiere $6$ durch $2$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - (3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2})$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 1 \cdot 3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

$y = - 3 - \frac{\sqrt{2 (x + 16)}}{2}$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$y = - 3 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

$y = - 3 - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)})$

Schritt 11

Entferne die Klammern.

$y = - 3 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

$y = - 3 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (x + 16)}$

Schritt 12