Elementarmathematik Beispiele

$3 y^{2} - 2 y + x + 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y + x + 1 = - 3 y^{2}$

Schritt 1.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 = - 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 y^{2} + 2 y - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 y^{2} + 2 y - 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - 1$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 3}$

Schritt 1.2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = - 1 - \frac{4}{- 12}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 12$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 12}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - \frac{1}{- 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 1 - - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 1 + 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$e = - 1 + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e = \frac{- 3 + 1}{3}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$e = \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$ ein.

$- 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 3 {(y - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{2}{3}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = - \frac{2}{3}$

$k = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{7}{12}$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

Brennpunkt: $(- \frac{3}{4}, \frac{1}{3})$

Symmetrieachse: $y = \frac{1}{3}$

Leitlinie: $x = - \frac{7}{12}$

Schritt 10