Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y - 23 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Addiere $23$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 18 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 9}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $324$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = 0 - 9$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$e = - 9$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ ein.

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Schritt 1.3

Setze $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ für $9 x^{2} - 18 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 8 y = 23$

Schritt 1.4

Bringe $- 9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 y^{2} + 8 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ ein.

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.6

Setze $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ für $4 y^{2} + 8 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 23 + 9$

Schritt 1.7

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 23 + 9 + 4$

Schritt 1.8

Vereinfache $23 + 9 + 4$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $23$ und $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 32 + 4$

Schritt 1.8.2

Addiere $32$ und $4$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 36$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 1$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, - 1)$

Schritt 5