Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

Schritt 1.1.1.3

Addiere $31$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 8$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 y$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $1 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 40$ durch $8$ .

$e = - 5$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ ein.

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 2$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 3, - 3)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 3$

Schritt 8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - 7$

Schritt 9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 3)$

Brennpunkt: $(- 3, - 3)$

Symmetrieachse: $y = - 3$

Leitlinie: $x = - 7$

Schritt 10