Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Schritt 1

Finde die Umkehrfunktion von $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 1.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 - (- 3 \cdot 4)$

Schritt 1.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$10 - - 12$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$10 + 12$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $10$ und $12$ .

$22$

Schritt 1.3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 1.4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Schritt 1.5

Multipliziere $\frac{1}{22}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.5

Kombiniere $\frac{1}{22}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 1.6.6

Kombiniere $\frac{1}{22}$ und $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit der Umkehrfunktion von $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix $2 \times 2$ und die zweite Matrix ist $2 \times 2$ .

Schritt 3.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Schritt 3.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Schritt 3.2

Die Multiplikation der Identitätsmatrix mit irgendeiner Matrix $A$ ergibt die Matrix $A$ selbst.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ .

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Schritt 3.3.1

Schritt 3.3.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$