Elementarmathematik Beispiele

${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(\frac{1}{3} x + y^{2})}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $\frac{1}{3} x$ und $b$ $y^{2}$ in den Ausdruck ein.

$1 {(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(\frac{1}{3} x)}^{3}$ mit $1$ .

${(\frac{1}{3} x)}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

${(\frac{x}{3})}^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$\frac{x^{3}}{3^{3}} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} {(y^{2})}^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{2 \cdot 0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{x^{3}}{27} y^{0} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} \cdot 1 + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{27}$ mit $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 {(\frac{x}{3})}^{2} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.9

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{9} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 (3)} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{27} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} {(y^{2})}^{1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2 \cdot 1} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2}}{3} y^{2} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{1}{3} x)}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 {(\frac{x}{3})}^{1} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + 3 \frac{x}{3} {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.16.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x {(y^{2})}^{2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.17

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{2 \cdot 2} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(\frac{1}{3} x)}^{0}$ mit $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{1}{3} x)}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.19

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(\frac{x}{3})}^{0} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.20

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{x^{0}}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.21

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{3^{0}} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.22

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + \frac{1}{1} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.23

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + 1 {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere ${(y^{2})}^{3}$ mit $1$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.25

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.25.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{2 \cdot 3}$

Schritt 4.25.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x^{3}}{27} + \frac{x^{2} y^{2}}{3} + x y^{4} + y^{6}$