Elementarmathematik Beispiele

${(x + 3)}^{6}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 3)}^{6}$ gilt $n = 6$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $7$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $3$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{6}$ mit $1$ .

${(x)}^{6} {(3)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $1$ .

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(3)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.4

Berechne den Exponenten.

$x^{6} + 6 x^{5} \cdot 3 + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 {(x)}^{4} {(3)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 9 + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $9$ mit $15$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 {(x)}^{3} {(3)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.8

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 27 + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $27$ mit $20$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 {(x)}^{2} {(3)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.10

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 81 + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $81$ mit $15$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 {(x)}^{1} {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.12

Vereinfache.

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x {(3)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.13

Potenziere $3$ mit $5$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 6 x \cdot 243 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $243$ mit $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(x)}^{0} {(3)}^{6}$

Schritt 4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 1 {(3)}^{6}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere ${(3)}^{6}$ mit $1$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + {(3)}^{6}$

Schritt 4.18

Potenziere $3$ mit $6$ .

$x^{6} + 18 x^{5} + 135 x^{4} + 540 x^{3} + 1215 x^{2} + 1458 x + 729$