Elementarmathematik Beispiele

${(x - 3 y)}^{5}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x - 3 y)}^{5}$ gilt $n = 5$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $6$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $- 3 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{5}$ mit $1$ .

${(x)}^{5} {(- 3 y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$x^{5} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 3)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 3 y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{5} + 5 x^{4} (- 3 y) + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{5} + 5 \cdot - 3 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- 3 y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot {(- 3)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 10 \cdot 9 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 3 y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 3)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.17

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 27 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $10$ mit $- 27$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.19

Vereinfache.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x {(- 3 y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.20

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 3)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.21

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 3)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.22

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 81 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $5$ mit $81$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.24

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.25

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + 1 {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere ${(- 3 y)}^{5}$ mit $1$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3 y)}^{5}$

Schritt 4.27

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} + {(- 3)}^{5} y^{5}$

Schritt 4.28

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$x^{5} - 15 x^{4} y + 90 x^{3} y^{2} - 270 x^{2} y^{3} + 405 x y^{4} - 243 y^{5}$