Elementarmathematik Beispiele

${(y - 2)}^{2} = 12 (x + 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $12 (x + 1) = {(y - 2)}^{2}$ um.

$12 (x + 1) = {(y - 2)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $12 (x + 1) = {(y - 2)}^{2}$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (x + 1) = {(y - 2)}^{2}$ durch $12$ .

$\frac{12 (x + 1)}{12} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (x + 1)}{12} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$x + 1 = \frac{{(y - 2)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(y - 2)}^{2}}{12} - 1$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 2)}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{12} \cdot {(y - 2)}^{2} - 1$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y - 2)}^{2}$ als $(y - 2) (y - 2)$ um.

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 2) (y - 2)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y - 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 2) - 2 (y - 2)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) - 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) - 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 4 y + 4) - 1$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 4 y) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 4 y) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (- 4 y) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{3} (- y) + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{12} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot 4 - 1$

Schritt 1.2.1.1.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} - 1$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{1 - 3}{3}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{y}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{3}$

$c = - \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{3} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$d = - \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 1.2.4.2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{2}{3} - \frac{1 {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{1 \frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{1 \frac{1}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{2}{3} - \frac{1 (\frac{1}{9})}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{2}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = - \frac{2}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{2}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 2 - 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$e = \frac{- 3}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(y - 2)}^{2} - 1$ ein.

$\frac{1}{12} {(y - 2)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 2)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 1$

$k = 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Schritt 4