Elementarmathematik Beispiele

${(x + 5)}^{2} = - 12 (y - 6)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 12 (y - 6) = {(x + 5)}^{2}$ um.

$- 12 (y - 6) = {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (y - 6) = {(x + 5)}^{2}$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 (y - 6) = {(x + 5)}^{2}$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y - 6$ durch $1$ .

$y - 6 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{- 12}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 6 = - \frac{{(x + 5)}^{2}}{12}$

Schritt 1.1.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{{(x + 5)}^{2}}{12} + 6$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 5)}^{2} + 6$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{1}{12} \cdot {(x + 5)}^{2} + 6$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$- \frac{1}{12} \cdot ((x + 5) (x + 5)) + 6$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + 6$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + 6$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 6$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + 6$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + 6$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) + 6$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (10 x) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (10 x) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{12}$ in den Zähler.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (10 x) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (10 x) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 (5 x)) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 \cdot 6} (2 (5 x)) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{6} (5 x) - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $5$ und $\frac{- 1}{6}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{6} x - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 5}{6} x - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.5

Kombiniere $\frac{- 5}{6}$ und $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 5 x}{6} - \frac{1}{12} \cdot 25 + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.6

Multipliziere $- \frac{1}{12} \cdot 25$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.6.1

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 5 x}{6} - 25 (\frac{1}{12}) + 6$

Schritt 1.2.1.1.5.6.2

Kombiniere $- 25$ und $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{- 25}{12} + 6$

Schritt 1.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{(5) x}{6} + \frac{- 25}{12} + 6$

Schritt 1.2.1.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} - \frac{25}{12} + 6$

Schritt 1.2.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} - \frac{25}{12} + 6 \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} - \frac{25}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 6 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} + \frac{- 25 + 72}{12}$

Schritt 1.2.1.5.2

Addiere $- 25$ und $72$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{5 x}{6} + \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{5}{6}$

$c = \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{6} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $6$ aus $1 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{5}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 5$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{47}{12} - \frac{{(- \frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{6}$ an.

$e = \frac{47}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{1 {(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$e = \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{1 (\frac{25}{36})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{25}{36}$ mit $1$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{47}{12} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{47}{12} - (\frac{25}{36} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$e = \frac{47}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 1 \cdot 3$ heraus.

$e = \frac{47}{12} - (\frac{25}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{47}{12} - (\frac{25}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{47}{12} - (\frac{25}{12} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kombiniere $\frac{25}{12}$ und $- 1$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{25 \cdot - 1}{12}$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$e = \frac{47}{12} - \frac{- 25}{12}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{47}{12} - - \frac{25}{12}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{25}{12}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{47}{12} + 1 (\frac{25}{12})$

Schritt 1.2.5.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{25}{12}$ mit $1$ .

$e = \frac{47}{12} + \frac{25}{12}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{47 + 25}{12}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $47$ und $25$ .

$e = \frac{72}{12}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $72$ durch $12$ .

$e = 6$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{12} {(x + 5)}^{2} + 6$ ein.

$- \frac{1}{12} {(x + 5)}^{2} + 6$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 5)}^{2} + 6$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 5$

$k = 6$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, 6)$

Schritt 4