Elementarmathematik Beispiele

$x > - \frac{3}{x - 4}$

Schritt 1

Addiere $\frac{3}{x - 4}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x + \frac{3}{x - 4} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $x + \frac{3}{x - 4}$ .

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Schritt 2.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} + \frac{3}{x - 4} > 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 4) + 3}{x - 4} > 0$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 4 + 3}{x - 4} > 0$

Schritt 2.3.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 \cdot x + 3}{x - 4} > 0$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 3$

$x = 1$

$x = 4$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 3, 1, 4$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 3) (x - 1)}{x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1$

$1 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > - \frac{3}{(0) - 4}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 > - \frac{3}{(2) - 4}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3.5 > - \frac{3}{(3.5) - 4}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $3.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 > - \frac{3}{(6) - 4}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $- 1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 < x < 3$ oder $x > 4$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(1, 3) \cup (4, \infty)$

Schritt 14