Elementarmathematik Beispiele

$| 6 - 4 x | \geq 20$

Schritt 1

Schreibe $| 6 - 4 x | \geq 20$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$6 - 4 x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \geq - 6$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \geq - 6$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x \geq - 6$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x \leq \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x \leq \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \leq \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $6 - 4 x$ nicht negativ ist.

$6 - 4 x \geq 20$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$6 - 4 x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x < - 6$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x < - 6$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x < - 6$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x > \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x > \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x > \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $6 - 4 x$ negativ ist.

$- (6 - 4 x) \geq 20$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 6 - 4 x \geq 20 & x \leq \frac{3}{2} \\ - (6 - 4 x) \geq 20 & x > \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (6 - 4 x) \geq 20$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 6 - 4 x \geq 20 & x \leq \frac{3}{2} \\ - 1 \cdot 6 - (- 4 x) \geq 20 & x > \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

${\begin{cases} 6 - 4 x \geq 20 & x \leq \frac{3}{2} \\ - 6 - (- 4 x) \geq 20 & x > \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 6 - 4 x \geq 20 & x \leq \frac{3}{2} \\ - 6 + 4 x \geq 20 & x > \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $6 - 4 x \geq 20$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \geq 20 - 6$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $6$ von $20$ .

$- 4 x \geq 14$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \geq 14$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x \geq 14$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{14}{- 4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{14}{- 4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{14}{- 4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $- 4$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$x \leq \frac{2 (7)}{- 4}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x \leq \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \leq \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{7}{- 2}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \leq - \frac{7}{2}$

Schritt 3

Löse $- 6 + 4 x \geq 20$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq 20 + 6$

Schritt 3.1.2

Addiere $20$ und $6$ .

$4 x \geq 26$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 26$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 26$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{26}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{26}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{26}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$x \geq \frac{2 (13)}{4}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x \geq \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \geq \frac{13}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \frac{7}{2}$ oder $x \geq \frac{13}{2}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \frac{7}{2}] \cup [\frac{13}{2}, \infty)$

Schritt 6