Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

Schritt 1

Addiere $4 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

Schritt 3

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 4.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

Schritt 4.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.6

Subtrahiere $45$ von $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$9 + 12 - 21$

Schritt 4.3.8

Addiere $9$ und $12$ .

$21 - 21$

Schritt 4.3.9

Subtrahiere $21$ von $21$ .

$0$

Schritt 4.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

Schritt 4.5

Dividiere $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ durch $x - 3$ .

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Schritt 4.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

Schritt 4.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

Schritt 4.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 4.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 4.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 4.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 4.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 4.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 4.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 4.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

Schritt 4.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Schritt 4.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

Schritt 4.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

Schritt 4.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x - 21$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

Schritt 4.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

Schritt 4.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + x + 7$

Schritt 4.6

Schreibe $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7

Setze $2 x^{2} + x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x^{2} + x + 7$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x^{2} + x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $56$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 55$ als $- 1 (55)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (55)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Schritt 7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.3

Subtrahiere $56$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.4

Schreibe $- 55$ als $- 1 (55)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (55)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{55}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

Schritt 7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

Schritt 7.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.3

Subtrahiere $56$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $- 55$ als $- 1 (55)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (55)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{55}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

Schritt 7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

Schritt 7.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 3$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 3]$

Schritt 11