Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 4 x^{2} \geq x + 4$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{3} + 4 x^{2} - x \geq 4$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} + 4 x^{2} - x = 4$

Schritt 3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 4 x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - x - 4 = 0$

Schritt 4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 4) - (x + 4) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 4) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 4) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 7

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 1, 1$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} \geq (- 6) + 4$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 72$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{3} + 4 {(- 2)}^{2} \geq (- 2) + 4$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} \geq (0) + 4$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} \geq (4) + 4$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $128$ ist größer als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 \leq x \leq - 1$ oder $x \geq 1$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 4, - 1] \cup [1, \infty)$

Schritt 14