Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - 5$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 9

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 10

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 4, - 5$

$x = 5, - 4$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 4, - 5, 5, - 4$

Schritt 14

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ .

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Schritt 14.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - x - 20}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 14.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 14.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 14.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 14.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 14.2.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 14.2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 14.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 14.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 14.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$

Schritt 14.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 20} \geq 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $0.\overline{230769}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4.5$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - (- 4.5) - 20} \geq 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $- 0.05263157$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - (0) - 20} \geq 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 16.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(8)}^{2} + 9 (8) + 20}{{(8)}^{2} - (8) - 20} \geq 0$

Schritt 16.4.3

Die linke Seite $4.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 5$ oder $x > 5$

Schritt 18

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5] \cup (5, \infty)$

Schritt 19