Elementarmathematik Beispiele

$\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$49 x^{2} - 81 = 0$

$x^{2} - 64 = 0$

Schritt 2

Addiere $81$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$49 x^{2} = 81$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $49 x^{2} = 81$ durch $49$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $49 x^{2} = 81$ durch $49$ .

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $49$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{49 x^{2}}{49} = \frac{81}{49}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{81}{49}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{81}{49}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{81}{49}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{81}{49}}$ als $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{49}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{49}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \pm \frac{9}{\sqrt{7^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{9}{7}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{9}{7}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{9}{7}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

Schritt 7

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 64$

Schritt 8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 9

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 10

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 10.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 11

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}$

$x = 8, - 8$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{9}{7}, - \frac{9}{7}, 8, - 8$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ .

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Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{49 x^{2} - 81}{x^{2} - 64}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 64 = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 64$

Schritt 13.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 13.2.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 8) \cup (8, \infty)$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$

$\frac{9}{7} < x < 8$

$x > 8$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{49 {(- 10)}^{2} - 81}{{(- 10)}^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $133.86\overline{1}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - \frac{9}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{49 {(- 5)}^{2} - 81}{{(- 5)}^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $- 29.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{49 {(0)}^{2} - 81}{{(0)}^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $1.265625$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{9}{7} < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{9}{7} < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 15.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{49 {(5)}^{2} - 81}{{(5)}^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 15.4.3

Die linke Seite $- 29.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 15.5.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{49 {(10)}^{2} - 81}{{(10)}^{2} - 64} \leq 0$

Schritt 15.5.3

Die linke Seite $133.86\overline{1}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Wahr

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Falsch

$\frac{9}{7} < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - \frac{9}{7}$ Wahr

$- \frac{9}{7} < x < \frac{9}{7}$ Falsch

$\frac{9}{7} < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 8 < x \leq - \frac{9}{7}$ oder $\frac{9}{7} \leq x < 8$

Schritt 17

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 8, - \frac{9}{7}] \cup [\frac{9}{7}, 8)$

Schritt 18