Elementarmathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$8 \cdot 1 - 2 \cdot - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 - 2 \cdot - 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 + 8$

Schritt 2.2.2

Addiere $8$ und $8$ .

$16$

Schritt 3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{16} [\begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 2 & 8 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{16}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} \cdot 1 & \frac{1}{16} \cdot 4 \\ \frac{1}{16} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{16} \cdot 4 \\ \frac{1}{16} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4 (4)} \cdot 4 \\ \frac{1}{16} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4 \cdot 4} \cdot 4 \\ \frac{1}{16} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{16} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 (8)} \cdot - 2 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} \cdot - 1 & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ \frac{- 1}{8} & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{16} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{8 (2)} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{8 \cdot 2} \cdot 8 \end{array}]$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{2} \end{array}]$