Elementarmathematik Beispiele

$P (x) = x^{3} - 12 x - 16$

Schritt 1

Setze $x^{3} - 12 x - 16$ gleich $0$ .

$x^{3} - 12 x - 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 12 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 16$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2 - 16$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$- 8 + 24 - 16$

Schritt 2.1.1.3.4

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16 - 16$

Schritt 2.1.1.3.5

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 12 x - 16}{x + 2}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 12 x - 16$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x$

$16$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x - 16$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$12 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	+	$16$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x - 8$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 12 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 4$

Schritt 3