Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = 2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$

Schritt 1

Setze $2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7$ gleich $0$ .

$2 e^{x} + 6 e^{- x} - 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$2 e^{x} + 6 {(e^{x})}^{- 1} - 7 = 0$

Schritt 2.2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$2 u + 6 u^{- 1} - 7 = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 u + 6 (\frac{1}{u}) - 7 = 0$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{u}$ .

$2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$

Schritt 2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 2.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 2.4.2

Multipliziere jeden Term in $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 u + \frac{6}{u} - 7 = 0$ mit $u$ .

$2 u \cdot u + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Schritt 2.4.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + \frac{6}{u} u - 7 u = 0 u$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0 u$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$2 u^{2} + 6 - 7 u = 0$

Schritt 2.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.3.1.1

Stelle die Terme um.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.4.3.1.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 u$ heraus.

$2 u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2.2

Schreibe $- 7$ um als $- 3$ plus $- 4$

$2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3) = 0$

Schritt 2.4.3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u - 2) = 0$

Schritt 2.4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 2.4.3.3

Setze $2 u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.3.3.1

Setze $2 u - 3$ gleich $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Schritt 2.4.3.3.2

Löse $2 u - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 3$

Schritt 2.4.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.3.4

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.3.4.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 2.4.3.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 2.4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 3) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{3}{2}, 2$

Schritt 2.5

Setze $\frac{3}{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{3}{2} = e^{x}$

Schritt 2.6

Löse $\frac{3}{2} = e^{x}$ .

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Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{3}{2}$ um.

$e^{x} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 2.6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 2.6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 2.6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 2.7

Setze $2$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 = e^{x}$

Schritt 2.8

Löse $2 = e^{x}$ .

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Schritt 2.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2$ um.

$e^{x} = 2$

Schritt 2.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 2.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 2.8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 2.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 2.9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\frac{3}{2}), \ln (2)$

Schritt 3