Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$

Schritt 1

Setze $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ gleich $0$ .

$9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

Schritt 2.1.1.3

Setze $0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$9 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$9 \cdot 0.\overline{037} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{3} + 9 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$0.\overline{3} + 9 \cdot 0.\overline{1} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 1 - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.6

Addiere $0.\overline{3}$ und $1$ .

$1.\overline{3} - 16 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} - 5.33333333 + 4$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $5.33333333$ von $1.\overline{3}$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4}{3 x - 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ durch $3 x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$4$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{2} - 4 x$

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	+	$4$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x + 4$

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	-	$4$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	+	$4 x$	-	$4$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$16 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	-	$4$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} + 4 x - 4$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $9 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) (3 x^{2} + 4 x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(3 x - 1) (3 x^{2} + 4 (x) - 4) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$(3 x - 1) (3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 1) (3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x - 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x - 1) (x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(3 x - 1) ((3 x - 2) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (3 x - 2) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (3 x - 2) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - 2$

Schritt 3