Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (2 x - 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{5} (2 y - 1) = x$ um.

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{5} (2 y - 1) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y - 1 = 5^{x}$ um.

$2 y - 1 = 5^{x}$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 5^{x} + 1$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 5^{x} + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 5^{x} + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Schritt 4.2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Schritt 4.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5^{x} + 1 - 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $5^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Schritt 4.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Schritt 4.3.6

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$