Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$ um.

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 1.2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (4, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache ${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 {(0)}^{3} + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0 + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.5.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 0 + 16 \cdot 0$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (4, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4