Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ , $x - 2 y = 5$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 + 2 y$

$x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5 + 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 7$ durch $5 + 2 y$ .

${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(5 + 2 y)}^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(5 + 2 y)}^{2}$ als $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ um.

$(5 + 2 y) (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(5 + 2 y) (5 + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 + 2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y (5 + 2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$5 \cdot 5 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 5 (2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$25 + 10 y + 2 y \cdot 5 + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 y (2 y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 10 y + 10 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $10 y$ und $10 y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + (5 + 2 y) \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y \cdot y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Bewege $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 (y \cdot y) + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 20 y + 4 y^{2} + 5 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $20 y$ und $5 y$ .

$25 + 4 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $4 y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$25 + 6 y^{2} + 25 y + 2 y^{2} = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $6 y^{2}$ und $2 y^{2}$ .

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

$25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3

Löse in $25 + 8 y^{2} + 25 y = 7$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + 8 y^{2} + 25 y - 7 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $7$ von $25$ .

$8 y^{2} + 25 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 18 = 144$ und deren Summe gleich $b = 25$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25 y$ heraus.

$8 y^{2} + 25 (y) + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $25$ um als $9$ plus $16$

$8 y^{2} + (9 + 16) y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

$8 y^{2} + 9 y + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 y^{2} + 9 y) + 16 y + 18 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$y (8 y + 9) + 2 (8 y + 9) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 y + 9$ .

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

$(8 y + 9) (y + 2) = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5

Setze $8 y + 9$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $8 y + 9$ gleich $0$ .

$8 y + 9 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5.2

Löse $8 y + 9 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = - 9$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 9$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = - 9$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = \frac{- 9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.6

Setze $y + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 2$ gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - 2$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8 y + 9) (y + 2) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

$y = - \frac{9}{8}, - 2$

$x = 5 + 2 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{9}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 5 + 2 y$ durch $- \frac{9}{8}$ .

$x = 5 + 2 (- \frac{9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $5 + 2 (- \frac{9}{8})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{8}$ in den Zähler.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{8})$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 (4)})$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 5 + 2 (\frac{- 9}{2 \cdot 4})$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 + \frac{- 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = 5 - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 \cdot 4 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x = \frac{20 - 9}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2.1.5.2

Subtrahiere $9$ von $20$ .

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

$x = \frac{11}{4}$

$y = - \frac{9}{8}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 5 + 2 y$ durch $- 2$ .

$x = 5 + 2 (- 2)$

$y = - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $5 + 2 (- 2)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = 5 - 4$

$y = - 2$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8})$

$(1, - 2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{11}{4}, - \frac{9}{8}), (1, - 2)$

Gleichungsform:

$x = \frac{11}{4}, y = - \frac{9}{8}$

$x = 1, y = - 2$

Schritt 8